回溯法

0. 回溯法理论基础

回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。

回溯函数也就是递归函数，指的都是一个函数。

回溯法的理解:
回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构。
回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。
递归就要有终止条件，所以必然是一颗高度有限的树（N叉树）。

回溯法的效率：
回溯法并不是什么高效的算法，因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案。
如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质。

0.1 回溯法解决的问题

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

  • 组合问题：
    N个数里面按一定规则找出k个数的集合
  • 切割问题：
    一个字符串按一定规则有几种切割方式
  • 子集问题：
    一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
  • 排列问题：
    N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
  • 棋盘问题：
    N皇后，解数独等等

排列与组合:

  • 组合是不强调元素顺序的
  • 排列是强调元素顺序

例如：
{1, 2} 和 {2, 1} 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，{1, 2} 和 {2, 1} 就是两个集合了。

组合无序，排列有序

0.2 回溯法模板

回溯函数：

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void backtracking(参数)

函数终止条件：

既然是树形结构，那么遍历树形结构一定要有终止条件，所以回溯也有要终止条件。

从树中就可以看出，一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。

所以回溯函数终止条件伪代码如下：

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if (终止条件) {
    存放结果;
    return;
}

回溯搜索的遍历过程：

回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。

如图：

回溯算法理论基础

注意图中，我特意举例集合大小和孩子的数量是相等的！

回溯函数遍历过程伪代码如下：

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for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
    处理节点;
    backtracking(路径，选择列表); // 递归
    回溯，撤销处理结果
}

for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。

backtracking这里自己调用自己，实现递归。

for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历
这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。

最终模板:
回溯算法模板框架如下：

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void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }
    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

这份模板很重要，后面做回溯法的题目都靠它了！

0.3 回溯法相关题型目录

0.3.1 组合问题

0.3.2 切割问题

0.3.3 子集和问题

0.3.4 排列问题

0.3.5 去重问题

0.3.6 棋盘问题

  • N皇后
  • 解数独

1. 组合问题

1.1 k个数的组合

https://leetcode-cn.com/problems/combinations/

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

示例 1：

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输入：n = 4, k = 2
输出：
[
  [2,4],
  [3,4],
  [2,3],
  [1,2],
  [1,3],
  [1,4],
]

示例 2：

1
2
输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]

提示：

  • 1 <= n <= 20
  • 1 <= k <= n

解:

可剪枝

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class Solution:
    def combine(self,n, k):
        self.output = list()
        self.k = k
        self.n = n
        self.backtracking(list(), 1)
        return self.output

    def backtracking(self, resoult,index):
        if len(resoult) == self.k:
           self.output.append(list(resoult))
        for i in range(index, self.n+1):
            resoult.append(i)
            self.backtracking(resoult, i+1)
            resoult.pop()